Sí se puede, yo he sabido de 2 extranjeros que hacen el trámite sin problemas. Primero tienes que entender cómo funciona la cosa. No hay un "permiso" como tal para poseer el arma. Lo que tramitas es un permiso extraordinario de adquisición de la misma. El registro del arma a tu nombre es el que digamos te permite poseerla, ese te lo dan cuando la compras.
Como civil solo puedes comprar un arma corta para protección de domicilio (el registro así lo indica, con esa modalidad). Solo puedes comprar cartuchos una vez al año y no puedes llevarla al campo de tiro a probar. Para hacer esa compra tú puedes llevar tus documentos al registro federal y en poco tiempo te extienden el permiso, ahí cerca está la tienda y compras y listo.
Para tener más armas (hasta 10) tienes que unirte a un club de tiro o caza. Ellos te van a pedir alguna documentación y te extienden una memrbesía. Ellos tienen que hacer el trámite para meter los documentos (son los mismos que para domicilio) o a veces tú los mandas pero con el Vo.Bo. del club, ya depende de ellos. El trámite que sí o sí hacen ellos es el del permiso de transportación que te permite llevar esas armas a su campo de tiro (si el club no tiene, tienes que conseguir el aval de un campo para que ahí puedas practicar, pero mejor que el club ya tenga sus instalaciones). En modalidades de tiro o caza ya puedes comprar cartuchos cada mes en los depositos aunque algunos ni te checan nada y te venden cuando quieras. La transportacion de tiro deportivo solo es de tu casa al campo, la de competencia que se tramita más tarde en el año es de tu casa a 10 estados que tú elijas y tienes que demostrar que vas a una competencia organizada, y la de caza no se como funcione porque no soy cazador pero seguramente tambien limita los estados y por logica las fechas en las que puedes ir a cazar.
Yo te recomiendo terminar tu mudanza y poner todos tus documentos en orden con la misma dirección antes de empezar cualquier trámite. El trámite es federal por lo que no importa donde vivas, no hay preferencias.